흔히 일반인들과는 다르게 생각하거나 좀 엉뚱한 상상을 잘 하는 사람들을 가리켜 4차원이라고 한다. 우리가 살고 있는 공간이 3차원이므로 여기서 말하는 4차원은 우리와는 다른 공간의 사람이라는 뜻이다. 수학에서 4차원이 어떻게 전개될 것이라고 이미 ‘오늘의 과학’ 코너를 통하여 소개한 적이 있다. 그러나 이번 이야기에서는 차원의 정확한 개념을 알고가야 할 필요가 있기 때문에 다시 한 번 상기해 보자.
우선 차원을 수학적으로 설명해 보자. 직선 위의 점은 적당히 좌표계를 정하면 하나의 실수 x로 표시된다. 또 평면 위의 점은 적당한 좌표계를 취하면 두 개의 실수의 쌍 (x, y)로 표시되고 공간의 점은 적당한 좌표계를 취하면 세 개의 실수의 짝 (x, y, z)로 표시된다. 이런 의미에서 직선은 1차원, 평면은 2차원, 공간은 3차원이라고 한다. 이와 같은 방법으로 우리는 자연스럽게 n차원을 생각할 수 있으며 n차원 공간에 있는 점은 n개의 실수의 쌍 (x1, x2 ,x3, … ,xn)으로 나타낼 수 있을 것이다. 참고로 점은 위치만 있고 크기가 없기 때문에 수학에서는 0차원으로 정의한다.
지금까지 말한 차원을 살펴보면 차원은 0, 1, 2, 3, 4,…, n과 같이 모두 0 이상인 정수이다. 그렇다면 1보다 작은 소수를 차원으로 갖는 공간도 있을까? 또 1보다는 크지만 2보다는 작은 차원을 갖는 공간이 있을까? 그런 경우를 바로 프랙털에서 찾아 볼 수 있는데, 이것을 찾아보기 위해서는 프랙털, 극한, 자연로그라는 개념이 필요하다. 그런데 이런 개념들은 모두 자주 소개되었던 것이므로 여기서는 프랙털만 소개하겠다.
프랙털(fractal)은 철저히 ‘조각난’ 도형을 뜻하는데, 이 말은 수학자 브누아 만델브로가 ‘조각난’이란 뜻의 라틴어 형용사 ‘fractus’에서 가져와 만들었다. 1970년대 후반에 만델브로는 프랙털이란 ‘아무리 확대해도 들쭉날쭉한 것이 계속되는 도형이다.’라고 정의하였다. |
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